科睿唯安與中國科學院聯(lián)合發(fā)布了《2025研究前沿》報告，聚焦自然科學和社會科學領域的最新研究動態(tài)。報告從11大學科領域中遴選出110個熱點前沿和18個新興前沿，全面展示了全球科研創(chuàng)新的趨勢與方向。其中，數(shù)學領域的研究進展尤為引人注目，多個交叉學科方向展現(xiàn)出顛覆性潛力。

數(shù)學領域排名前十的研究前沿集中體現(xiàn)了機器學習與科學計算的深度融合。以“物理引導神經(jīng)網(wǎng)絡在偏微分方程求解中的方法與應用”為例，該方向通過將物理定律嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡訓練過程，突破了傳統(tǒng)數(shù)值方法在高維系統(tǒng)求解中的局限。研究團隊開發(fā)出基于物理約束的深度學習模型，能夠自動滿足偏微分方程描述的物理規(guī)律，為復雜系統(tǒng)建模提供了全新工具。另一項前沿“基于深度去噪先驗的迭代優(yōu)化計算成像”則結(jié)合了數(shù)據(jù)科學與微分方程理論，在圖像重建領域?qū)崿F(xiàn)了計算效率與精度的雙重提升。

人工智能理論基礎研究同樣占據(jù)重要地位?！艾F(xiàn)代機器學習中的雙降曲線與泛化現(xiàn)象研究”針對深度學習模型的過參數(shù)化特性展開探索。傳統(tǒng)統(tǒng)計理論認為，模型復雜度與泛化能力呈U型關系，但深度神經(jīng)網(wǎng)絡卻表現(xiàn)出“雙降”風險曲線——當參數(shù)數(shù)量超過訓練樣本時，測試誤差不僅未上升，反而進入第二個下降區(qū)間。這一發(fā)現(xiàn)挑戰(zhàn)了經(jīng)典認知，為理解大模型的成功機制提供了數(shù)學框架。相關研究已吸引全球頂尖機構(gòu)參與，核心論文產(chǎn)出呈現(xiàn)多極化格局，美國、中國、歐洲的研究團隊在該領域形成激烈競爭。

優(yōu)化理論與統(tǒng)計方法創(chuàng)新持續(xù)涌現(xiàn)?！盁o導數(shù)/零階優(yōu)化的方法與理論”為黑箱函數(shù)優(yōu)化提供了新思路，特別適用于無法獲取梯度信息的復雜系統(tǒng)?！跋∈杌貧w/最優(yōu)子集選擇的精確與可擴展優(yōu)化方法”則通過數(shù)學推導與算法設計，解決了高維數(shù)據(jù)下的模型選擇難題。在統(tǒng)計領域，“高維統(tǒng)計中魯棒統(tǒng)計推斷”針對數(shù)據(jù)噪聲與異常值問題，構(gòu)建了更具抗干擾能力的推斷框架；“非局部模型與分數(shù)階偏微分方程的理論與計算”則拓展了傳統(tǒng)建模方法的適用范圍，為非線性現(xiàn)象研究提供數(shù)學支撐。

物理引導神經(jīng)網(wǎng)絡的研究正從理論探索轉(zhuǎn)向工程應用。研究人員通過改進網(wǎng)絡架構(gòu)設計，使其能夠自動滿足能量守恒、動量守恒等物理不變量，顯著提升了預測結(jié)果的物理合理性。在多模態(tài)數(shù)據(jù)融合方面，該技術已成功應用于材料科學、流體力學等領域，通過結(jié)合實驗觀測與物理約束，實現(xiàn)了對隱式物理規(guī)律的逆向挖掘。工程界正積極推動其向?qū)崟r預測場景延伸，例如在航空航天領域構(gòu)建數(shù)字孿生系統(tǒng)，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的動態(tài)仿真。